本文需常用的常识：凡有首项的无穷序列L是由其各项各在各位置(如1号位，2号位，…，…)上形成的，故其从左到右的各个项必与相应的形如{1，2，3，…，n，…}的集Q内从小到大的各个数一一对应，记为L～Q。　　

问题是Q不一定=N！关键是若L～Q=N即L的所有项的位置序号数n的全体组成N，N的各元n都是L的项x_n的下标n，则在L的1号位置的左邻位置：L以外的m号位置（m号，1号，…）上增添第m项得包含L的新序列L′的首项是两序列的总第m号项，其不是在最小序号1号位上，而是在m号位上，此m显然是前所未有的N以外的>所有自然数n的超自然数！即L′比L多了个L中没有的m号位置使L′所有项的下标数组成的集≠N，故L′～相应的Q≠N！　　

如[1]所述，近似计算常识：正整变数y=100…0n + n=主要部分100…0n + 次要部分n　　

≈100…0n + 0>>n=1,2,3，…（所有n组成Q）　　

是说误差余项n→∞与y的主部相比实在是总距0太近了以致于可视其为0而忽略，即说Q的各元n相比下全都是≈0的极小正整数——意味着Q外有自然数y>>Q的所有数n。而且有代数常识：式中y必可>>右端数列的一切n而代表Q外的自然数。然而5千年数学却一直断定此可视其为定数0而忽略的变数n≈0可取一切非0自然数——这就构成了重大自相矛盾（数学危机）。症结是后文证明的：Q只是N的沧海一粟。　　

不明此真相的教师根本无法从数、数量关系的高度上来阐明在数学的理论与应用中占极重要地位的近似计算理论的原理而只能不知其所以然地搞盲从。若上述误差项可取一切自然数就绝对不可将其忽略。　　

康脱将基本数列：无穷多个各不相同的非0数：10¹⁰，10⁹，10⁸，…，10¹¹/10ⁿ ，…定义为一个数0。“皇帝新装”中的小孩一定指出这是与数学所要求的严密精确性背道而驰的离题万丈的错误。但大人们却为何不察此非常离谱的明换概念的错误？小孩也知道无穷多个1的和h=1+1+1+…与同样多个-1的和j=-h的代数和h-h=0，大人们却为何反而一致误认为级数h+j不代表数而无意义？原因都是受到了重大错误知识的严重伤害与误导。　　

数列A ：0.1，0.01，0.001，…，1／10ⁿ，…的充分后的项都是＜“任意给定”的正数ε的正数——本文第六节揭示标准分析从前门拒绝了无穷数从而“化解了无穷小危机”，然而又从后门“神不知、鬼不觉地溜进”了明否暗用的起决定性作用的无穷小正数＜ε，这是其与非标准分析等价的原因。拨乱反正地明用无穷数后微积分就易学易教了。例如一长度是有穷数的弧由无穷多部分组成，各部分都几乎是相应的长度是无穷小正数的直线段，所有直线段的总长与某有穷数a只有一无穷小数的差别，显然a就是弧的长度；一常观曲面块由无穷多部分组成，各部分都几乎是相应的平面块，…。这种借助有穷数之外的无穷小数（其倒数是无穷大数）求有穷数的思想方法是实践远远走在理论前面的对无穷数只有感性认识的非常直观明了的200年无穷小分析（相应的分析力学中有起决定性作用的无穷小数位移概念）的思想精髓、根本大法；本文揭示否定此精髓的百年标准分析自相矛盾，从而极难学难教。　　

本文证明了无穷数的客观存在性，从而化解了第二次数学危机。　　

从力学史来看“给质点一虚位移以求出…”其实是“…一无穷小位移…”，只是因有无穷小危机而不得不改称为…罢了。其实要清楚地而不是模糊不清地论述“变分法”就不能不说虚位移εh（t）中的ε是“无限小的常数”（卢圣治，变分法初步，大学物理，1988（4），39页）。丢掉无穷数与丢掉无理数一样都使数学…。　　

一、{1，2，3，…，n，…}不一定是正整数集N——有无穷大自然数　　

奇数集A ={1，3，5，…，2n -1，...}（n=1，2，３，…）　　

偶数集B ={2，4，6，…，2n，...}的各元2n的对应数n的全体组成C　　

C={1，2，3，…，n，…}=值域为B的y=2n的定义域=相应的Q　　

显然无穷集A～B～C=Q。问题是N=A∪B～A吗？N=C吗？　　

显然若N≠C则百年集论不能成立。一目了然：C的各元n的头上都有两个对应数2n、2n-1且所有对应数组成的集是N说明N的元比C的元多一倍使C只能是N的1/2部分——57个字符推翻了百年集论、推翻了自有直线函数概念几百年来一直认定的“y=2n的定义域C=N”、证明了N内有>C的一切n的无穷大正整数n与1相隔无穷多个n，即C有上界∈N；同时证明了A、B各占N的一半。　　

形成鲜明对比的是C的各元n都有一个对应数2n且所有对应数组成的集是B 说明B ～C=Q。　　

显然以上的A、B两行数合并为一行数L时，～L的Q才=N＝C∪（N－C）。N－C的元n显然都是>C的一切n的无穷大正整数(相应的1/n是无穷小正数)，相应的数列A的第n∈N－C项0.00…01是n个小数位的无穷小正数。如[2][3][4]所述，用而不知地失察此类在微积分中起决定性作用的数，使数学自相矛盾频频出现违反语文常识的重大病句（正如2500年前数学家对无理数用而不知一样）从而总难学难教——因为未被“洗脑”的正常人都还有天生拒绝接受自相矛盾学说的本能。　　

其实无穷小并不神秘而很直观,例如与宇宙相比各星球都是无穷小天体。　　

可见上面的A、B、C三行数分别都只是N的一半。　　

代表自然数的y=2n>n=1, 2,3，…（数列所有数n组成C）明确表示有自然数2n>C的所有数n。　　

显然证明有无穷大正数就证明了有无穷小正数。　　

二、起码数学常识及分果常识凸显有超自然数>一切自然数——中学数学几百年重大错误: 搞错变量的变域　　

数轴上的正数与负数一样多。“对于一切（任何）负数x都有y =x+0.1>x（可取一切负数）”显然表示变数y必可>　　

一切负数——由此可知必有非负数>一切负数。同样“对于一切标准正数x都有数y=2x>x>　0”　明确表示y必可>一切标准正数——由此可知y必可取非标准正数>一切标准正数。　　

可见如[5]所述，自有直线函数概念几百年来一直公认的中学的“对于一切标准正数x都有标准正数y =2x（或x+1等）>x（其变域D由一切标准正数组成）”是重大病句：有标准正数y>一切标准正数x。若限制y与x都只能取标准正数，则D（包含一切形如x<标准正数2x（或x+1等）的标准正数x）不可包含一切标准正数而在D外必还有“更无理”标准正数x——其对应数2x（或x+1等）>x不可是标准正数而只能是非标准正数。　　

关键是应有中学起码数学常识：y >(<)x中的y必可>(<)x的变域D的一切数。因为有傻瓜相机也有傻瓜数学：说y>(<)x中的x可取1，2，3这3个数就是说y可>(<)这3个数，说x可一个不漏地遍取D的一切数，就是说代表数的y必可一个不漏地遍比D的一切数x都大(小)而代表D外的数。　　

要害是对数学表达式所表达的内容不能只有一知半解的肤浅认识,对式中各字母的含义不能只有一知半解。y>x表示对于x的变域X的一切数x都有y >x，以及对于y的变域Y的一切数y都有x<y 。　　

 可见，中学的：对于任何一个自然数n都有自然数y=n+1>n（y的定义域包含一切自然数）——自然数公理：任何自然数n<自然数n+1是重大病句 ：有自然数n+1>任何自然数n。下式　　

n-1<任何自然数n<n+1　　

就不是病句，其明确表示有非自然数n-1<任何自然数n——与你是否认识0与负数完全无关；同样，其也明确表示有非自然数n+1>任何自然数n——与你是否认识最大自然数完全无关。　　

N的各元n都有对应数n-1，但并非所有的n-1都∈N；同样，若N的各元n都有对应数n+1，但并非所有的n+1都∈N。　　

同样“对于任何一个实数x都有对应实数y =x+1>x” ——中学“常识”也是重大病句：有实数y>任何（所有）实数x。建立在重大病句之上的理论必是自相矛盾的错上加错的更重大错误。　　

     变域是变量所有能取的数组成的集。搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。　　

对占统治地位的集合论，1908年著名数学家庞加莱富有远见卓识、高瞻远瞩地作出极其惊人的超凡越圣的伟大科学预见：“下一代人将把（康脱尔的）集合论当作一种疾病，而且人们已经从中恢复过来了。”（张锦文等，连续统假设，辽宁教育出版社，1988：