一、导言：编序号常识及分形几何显示存在有首、末项的无穷序列　　

张效先等《无穷级数》（山东教育出版社，1982.9）1页：按自然数编了号的一列数…称为一无穷数列。故相应无穷数列的所有数x_n都=数列的第n号（位置上的）数。“如果A是可数无限集，那么…A的元素就可以用自然数来编号，每个自然数恰好用到一次^[1]。”为显示先后顺序及元素的多少，不可用非正数来编号。　　

设有无穷多间一房只住一人的客房住满客，“客房号码可以用自然数一个个的标出来，即用1号，2号，3号，…标出来，所有自然数无一遗漏，…”（欧阳光中《集合和映射》58页）n号房客也编为n号人。现又来了个m号客，因为用正整数n标记各房就无一遗漏地用光一切正整数n了，故m是非0自然数集N以外的序号数>一切正整数，从而有无穷序列1，2，3，…，m-1，m。希尔伯特说让各n<m号人都移至n+1号房，就腾出1号房给m号客了。殊不知有超自然数m>所有自然数n！让m-1号人移至哪号房? 　　

房1，房2，房3，…中的所有自然数组成N。现又建一房m，显然m不∈N！故对于编号，N远远不够用！　　

关键是以康脱之道纠康脱百年之错：n<m号人配n号房就配光房间了，剩下m（非标准自然数）号人无房可配，充分说明客比房多一个,从而使客与房根本不可一一对应。由此可得第3节的真扩集定理。　　

本文需常用的常识：凡有首项且各项互不相等的无穷序列L是由各个数或字母等等 “对号入座”地分别“入住”各个空间位置“房间”（如1号位，2号位，…，n号位，…；n=位序数）而形成的，故其必对等于形如{1，2，3，…，n，…}的集Q，记为L～Q。问题是发现并非所有的Q都=N！要注意此Q非彼Q，正如都是x但此x=1≠彼x=2一样。　　

L～Q=N的所有项的位序数n的全体组成N，在L的1号位的左边增添第n（不可∈N）=m号位项得包含L的新序列L′={m号位项，1号位项，2号位项，…}的首项是两序列的总第m（超自然数）号项，第二项是1号位项，…。显然L′的位序数n的全体组成的Q是N的真扩集N′≠N。　　

边长为1=1/3ⁿ的等边三角形由3条直线段连接而成，其一条边A—B变为相应的折线段就成为分形几何中边长为1/3ⁿ（n >“任意给定的正数”M）的无穷多角（边）形：柯赫雪花闭折线的1/3部分：由无穷多等长的无穷短直线段连接而成的折线段AB，其长度（4/3）ⁿ>M。由AB的生成元　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　可知在放大足够大倍的思维显微镜下，所有直线段的所有端点可排为首项为点A，第二项为AB上与点A连接为直线段的点，…，末项为点B的无穷点列。将AB“拉直”就成为可折叠还原为AB的有两端点的无穷长直线段。　　

有穷集Y的任何两元之间都绝对不能有无穷多个Y　　

的元——此性质不能硬套和强加在无穷集上，无穷集的　　

独特性质决定了有首项的无穷数列中必有与首项相隔无　　

穷多个项的项。　　

“稍有一点头脑的人都不否认：既然1，2，3，…，n，…是无穷数列，那当然就有与1相隔写不完的那么多（即无穷多）个自然数的自然数n，虽然永生不死的　　

　 　

人也不可由1写到此n，但此n却是数列中的无穷大自然数，否则就不是无穷数列了。相应的1/n就是无穷小正数。相应的1，2，3，…，n就是有首、末项的无穷数列^[2]。” 正如1与2之间的实数多得写不完一样。　　

狄利克雷：a和b是两个确定的值，x是一个变量，它顺序变化取遍a和b之间所有的值。（李晓奇《先驱者的足迹——高等数学的形成》90页）而a和b之间有无穷多个数。无此正确的感性认识就无高等数学。U=[a, b]也有最小、大元素。变域为U的x在由小到大取值的过程中必有最后一次的取值：取至b后就无数可取了，即其取数过程是有完有了、有始有终的。　　

关键：对人而言U内数多得取之不尽，人不能遍取U内数，但变域为U的变量却能取尽U内数，因为变域是变量所有能取的数组成的集；人所创立的符合实际的抽象理论中凡变数都能一个不漏地遍取变域的一切数，正如人制造的机器人等能干人所不能干的事一样。对无穷现象的幼稚认识使人们误以为地球人不能做到的事，“宇宙人”也做不到。　　

以上是“无穷无尽”与“有穷有尽”的对立统一性在数学中的生动体现。对立统一规律是普遍规律。 　　

二、分形几何研究者不能不知的事实：数学中，暗含的、用而不知的“骨干”数远远多于已知数　　

取N内值的n→∞的含义是n变至后来所取各自然数n均>“任给定正数”M。故N内暗含有“更无理”数n>M。“用而不知的‘骨干’数远远多于已知数。例如，如无>任何标准正数的非标准数及其倒数就绝无非标准微积分一样，若无>‘任给定正数’M的数x 及其倒数，就绝无无穷大变量x>M及其倒变量，从而更无微积分，因为变量x>M是说x所取各数x均大于M。古人不知无氧气就无人类，今人不知无…就无微积分。…　　

说恒取自然数的n可变至总>‘任给定正数’M就是间接肯定有无穷大自然数n>M。用而不知地失察此类起决定性作用的数，使数学自相矛盾，正如2500年前数学家对无理数用而不知一样。没有>M的数何来恒>M的变量（至少可取2个数的量称为变量）及其倒变量？从而又何来微积分?!极限论断定无穷数列1，2，3，…，n，…中有数n>M^［3］。” 　　

参见[4]，s=a-a+a-a+a-a+…=0是因其中的a≠0与-a一样多：都是n（非标准或无穷大自然数）个，从而使各a与各-a一一对应。s=a+（-a+a-a+a-a+…）=a+g=0　　

中的g是s中去掉一个a而得的，故g中只有n-1<n个a，于是g中有一个-a无对应的a使g=-a而根本不可有s= a+g=a。显然s±na=0±na=±na。　　

所以无穷级数s的部分和的极限与其所有项的和是两个根本不同的概念。　　

三、G的真扩集K＝｛a｝∪G必显示K比G多一个元a　　

如水分子的集合必占宇宙的一定空间一样，任何非空数集必占数宇宙的一定空间。集D所占有的数空间容纳不下比D多元素的集。　　

无穷集C～D而不～E的原因是C与D分别包含同样多元素而至少比E多或少含一个元素，称D与C等容（两集容量相等）。故有集论常识：两集不等容=不对等。给C增添一C外元a就得C的真扩集K＝｛a｝∪C比C多了个C所没有的数a——不论C是否无穷集。　　

上述“一房一客”中客与房一样多。据此常识y=2x的定义域：无穷集D～y的值域。同样，无穷集C～C是因C的各元x都只有一个与己相等的对应数y=x且所有对应数组成C。显然若C的各元x≠0都有2个对应数±x，则所有对应数组成的H的容量2倍于C的容量；　　

…。康脱就断定无理数比自然数多；…。　　

两无穷集不对等即容量不相等就更谈不上相等。　　

真扩集定理：任何可有真扩集的非空集G与其真扩集KÉG不对等、更不相等，原因是K至少比G多含一个元素即K的容量必>其一部分G的容量。　　

证：G～G。给G增添一与G没共同元的非空集H得G的真扩集K＝G∪H就极显然不～G了：K的一部分G的各数x与原G的所有元x一一对应结成数偶（x，x）就将原G的元都给结合光了，K还剩下H的各元都无“配偶”∈原G，表明K至少比G多包含一个元。证毕。　　

四、33字推翻百年集论　　

H定理：凡至少有两元的集J都不能～其任一非空部分；故凡～J的集或=J或≠J，都不是J的真子集。　　

证1：J是其任一非空部分E的真扩集，据真扩集定理，E不可～它的真扩集J。证毕。　　

证2：J可是其两不相交非空部分的并。设E是J的任一非空部分，J-E=V也非空，则J=E∪V是E的真扩集，与V不相交的E极显然不～J=E∪V：　　

P＝｛0，1，2｝与T=P∪｛3｝的一部分P对等，表明T的容量>P的容量。同样，J的一部分E的各元已可与原E各元一一配对了，表明J的容量>E的容量——这里33个字符数就推翻了百年集论！关键是据真扩集定理J=E∪V的容量分别>E及V的容量。证毕。　　

五、{1，2，3，…，n，…}不一定是正整数集N——有无穷大自然数　　

奇数集A={2n-1}（n=1，2，３，…）　　

偶数集B={2n}的各元2n的对应数n的全体组成C　　

C={n}=值域为B的y=2n的定义域=相应的Q　　

显然无穷集A～B～C=Q。问题是N=A∪B～A吗？N=C吗？据H定理～AÌ N的C≠N。　　

证明N的容量>C的容量从而≠C：　　

①一目了然的“一房二客”的“一二对应”：C各元n的头上都有两对应数2n、2n-1且所有对应数组成N说明N的元比C的元多一倍使C只能是N的一半——50个字符推翻了百年集论和自有直线函数概念几百年来一直认定的“y=2n的定义域C=N”、证明了N内有>C的一切n的无穷大正整数n与1相隔无穷多个n，即C有上界∈N；同时证明了A、B各占N的一半。　　

②参见真扩集定理，N的所有偶数元2n与B～C的各元2n一一配对：2n←→   2n就将B的元都配光了，还剩下所有奇数元2n-1都无“配偶”2n∈B，说明N的元多于B～C的元即N的容量>C的容量，表明C～B与B一样只是N的一部分！③N的所有偶数元2n与C的各元n一一配对：2n←→ n就将C的元都配光了，还剩下所有奇数元2n-1都无“配偶”n∈C，说明N的元多于C的元从而≠C。④先对B的元都配上序号：2=1号数，4=2号数，…，2n= n号数，…，所有序号数n组成C；然后再对A的元n=1配序号：1=e号数；显然e是C以外的>C的一切n的自然数，故C≠N！⑤由第6节的傻瓜数学,代表N内数的y=2n>n=1,2,3，…（所有数n组成C）明确表示有N内数2n>C的所有数n。　　

C＝｛1，2，3，…，n，…｝～下面的BÌ N　　

N＝｛2，4，6，…，2n，…｝∪A=B∪A中，A有多少（个）元，N就比头上的C～B多多少（个）元——稍有一点头脑的初中生也一说就明的推翻自识正整数5千多年来一直举世公认的“无正整数n能>C的一切n”的表达式。