“定理4(实数集的处处稠密性) 任给两不相等的实数a、b，恒可找出一实数c使c介于a与b之间。证…。”(莫绍揆《极限论新解》，北京：高等教育出版社，1992.5：6-7)。
“定理5：一个集合是无限集的充要条件是它和自身的某一个真子集对等（田开璞《现代科学数系论》11页）。”
“变数y=f(x)”是说某数集D的各元x均有对应数y(x)，表明变量x所取各数也均由x代表（读者上、下文联系来看就知：此x是变量，彼x是定量。），D内各元都有一个共同的“名字”叫x。说由大到小取值的x≥0必能取尽一切正数后取0，同时又说其所取各正数均为x=100（x/100）=100y＞99y＞98y＞97y＞…＞y＞0,即说此x→0总与0至少相隔99个数地“隔数相望”永不重合。这显然前后自相矛盾！所以必有太小正数x小至≠100（x/100），以及必有…。
“‘假传万卷书，真传一句话’：沿同一线运动的不断靠近的两点之间的距离ρ≥0不取完变域U内的一切正数就绝对不能取0。不纠正几千年重大错误：U内无最小正数，就不能破解2500年芝诺著名运动难题。不能真正用数表达运动的相关学科还处于不知其所以然的唯象论阶段[1]。”
“线段是由点组成的点集”明确表明“点”是线的组成部分，线段的长度显然是各部分的长度的总和。小学生也一眼看出“长度为0 的点能组成有长度的线段” 是典型的违反起码常识的无中生有论啊 ！
一、“变量y＜x”的含义推翻几千年“任何正数x> x/k>0”
从代数角度来说，代数式中至少能代表2个数的字母就是变量。定量y＜x=任何正数（x可取任何正数），表示有非正数y＜任何正数；变量y＜x=任何正数，表示变量y必可＜任何正数而取（代表）非正数y。两式都一目了然地表达有非正数y＜任何正数。例如“任何正数x>x-1=y及任何正数x> -x=y”就是真理。注，在不致混淆时才可将“任何>2的正数x”简写为“任何正数x>2”。
数学有史五千年来一直断定任何正数x>x/k = y>0（x必有对应数x/k，k>1），即断定任何正数都能由式中x代表。由上可知这就是断定变量y>0必可＜任何正数而取非正数——重大错误！
所以必有未知正数x不可表为x>x/k = y>0而无对应数x/k。所以，断定
0 < y = x/2<x（变域为H，H各元x>0均有对应数x/2 = y）
中的x可取任何正数、H含所有正数，就是断定式中y必可变至<一切正数而取非正数——中学数学的重大错误！
二、本文的最关键问题完全是中学数学问题
两集对等就是说两集分别包含同样多（个）元素——两集相等的必要条件。两集不对等就更谈不上相等。
搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。若任何正数都能由2x>0中的x代表，则并非任何正数都能由此2x代表；…。
由① 0< x <1得② 0< kx< k（>1的定量），若①表示x的变域是（0，1）= D，那么②也表示kx＝y的变域Z是（0，k）=D∪[1，k）=V吗？即定义域为D的y =kx的值域Z=V吗？
这一本文的最关键问题完全是中学数学问题。
三、百字推翻5000年数学“常识”：无最小正数
最关键的是若Z与V是同一数集，则两者必对等——Z=V的必要条件。
如水分子的集合必占宇宙的一定空间一样，任何非空数集必占数宇宙的一定空间。集D所占有的数空间称为D空间，其容纳不下比集D多元素的集。
y= f(x)＝kx 是说x的变域D的各元x均有对应数y=kx与之成双配对。所有对应数y组成的集合Z就是 f(x) 的值域，因其各元y可看成是由D 的各元x均由x变换为 y而来的，所以两集对等：D内有多少（个）x，Z内也有多少（个）y。故Z空间=D空间。
①②显示V=（0，k）内形如kx> x∈D的正数y=kx的全体组成了Z，其各元kx的对应数x的全体只能布满D空间而不可布满V空间。这石破天惊地表明Z与V不对等：V至少比Z多一个元素！从而更不相等。
任何正数y都有对应数y/k都可k>1倍于别的正数吗？形如y =k（y/k）=kx>x> 0的数y都至少>一个正数,都有对应正数y/k=x, 将这类数称为B正数。由函数知识，Z包含了V的所有B正数y =kx>x∈D，即V内形如y =k（y / k）=kx>x∈D的正数y的全体组成了Z。
D的各元x均由x变换为y=kx就形成了以y为元素的新的数集Z与D对等。以上已阐明Z =V(B数)（V内所有B数组成的集）≠V！
Z的各元kx全都有“对象”x∈V的一部分D了，从而全都不能与V的另一部分[1，k）的各元x“搞对象”。否则就是“搞重婚”。可见Z与V不对等！从而更不相等。所以Z～D是V的真子集使V至少有一Z外的非B正数！所以此段百字证明了：
V内有未知的不可至少>一个正数的正数y≠ k（y/k）而没有对应正数y/k<y, 即y小至不可>任何别的正数！使相应的符号y/k不能代表任何数，正如当 x=0时，c/x 不能代表任何数一样。这说明数学有史5千年来一直断定的“无最小正数”其实是重大错误！建立在此定论之上的理论必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。所以：
[0，1]各元可排为一无穷数列：0，最小正数0′,20′,…，1-0′，1；D内有最小、大正数：0′与 1-0′；各正数均为0′的整数倍。[0，k>1]各数可排为：0，0′，20′，…，k-0′，k。…。所以：
数学引以为豪的被“最伟大数学家”希尔伯特断定任何人都不能推翻的百年无穷集论，是重大的百年之误！建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误。
对占统治地位的集合论，1908年著名数学家庞加莱富有远见卓识、高瞻远瞩地作出极其惊人的超凡越圣的伟大科学预见：“下一代人将把（康脱尔的）集合论当作一种疾病，而且人们已经从中恢复过来了。”（张锦文等，连续统假设，辽宁教育出版社，1988：20）。
定义域为D的f(x)的值域Z=V（B数）才是正确的，去掉“（B数）”就是中学数学的重大错误：将V的部分：Z误为全体，从而使康脱推出“数学可不受最起码语文、科学常识：部分<全体的束缚”的“革命发现”。这使数学有方向、路线错误！
科学发展的道路不能是笔直的，有时误人歧途地走弯路是难免的。由小到大取值且变域为(0,1)的变量若没有第一次的取值就绝对不能有以后各次的取值，人类不知其第一次取何数，恰恰表明人对变量变化的规律无力把握。
参考文献
[1]黄小宁 “最伟大创造之一”的康脱集论最让数学脱离健康——再三论证“无最小正数”是几千年重大错误，见：中华素质教育理论与实践新探（4）[C]，北京：中国戏剧出版社，2006.2：423.
[2]黄小宁 再论任何正数集V+均有最小、大正数——推翻百年康脱无穷集论破解2500年芝诺世界难题，见：中国精典文库[C]，北京：中国大地出版社：2004.10:814。
[3]黄小宁 极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研·数学·计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7。
[4]黄小宁 发现最小正数破解2500年芝诺疑难，见：中国高等教育研究·数学卷[C]，同[2]：2000.12：17。
[5]黄小宁 再论发现最小、大正数彻底推翻康托无穷集论破解2500年芝诺世界难题（上），见：同[3]：2002.6:21。
[6]黄小宁 一眼看出有最小、大正数一下子推翻百年集合论、破解2500年芝诺著名世界难题，发明与创新增刊[C]，2006：125。
[7]黄小宁 极浅显常识揭示数轴上的点远远不能与各实数一一对应，学习方法报·教研版（N）2002.11.22，4版。
电子信箱:hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母）电联:020-88506843(下午)初稿完成于2007-9-2
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