高一数学暑假作业

 简单几何体

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．一个棱柱为正四棱柱的条件是　　　　　　　　　　　　　　　　                   （　　）

       A．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面　　　

       B．底面是正方形，有两个侧面是矩形

       C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直　　

       D．每个底面是全等的矩形

2．下列命题中正确的一个是　　　　　　　　　　　　　　　　　　                   （　  ）

       A．四棱柱是平行六面体                  B．直平行六面体是长方体

       C．底面是矩形的四棱柱是长方体          D．六个面都是矩形的六面体是长方体

3．在底面边长与侧棱长均为a的正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，已知M为A₁B₁的中点，则M

   到BC的距离是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　                        （ 　 ）

    A． a             B． a             C． a               D． a

4．若四棱锥的四个侧面与底面所成的角都相等，则其底面四边形必是　　            （　　）

A．矩形　　　        B．菱形　　　         C．圆外切四边形     D．圆内接四边形

5．三棱柱的底是边长为4的正三角形, 侧棱长为8，一条侧棱和底面的两边成45°

角，则这三棱柱的侧面面积为　　　　　　　　　　　　　　　　　              （　  ）A．32         B．4（ +1）                                 C．16（ +1）     D．32（ +1）

6．如图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后，图形是         （ 　 ）

A　　　　　 B　　    C　　　　  D

7．正三棱锥S－ABC的高SO＝h，斜高SM＝l, 点P在SO上且

分SO所成的比是1 ：2，则过P点且平行于底面的截面面积是　　　　　 　（ 　 ）

       A． (l²－h²)        B． (l²－h²)      C． (l²－h²)         D． (l²－h²)

8．将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了           （    ）

       A．                B．12a²                    C．18a²                   D．24a²

9．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部

   分的体积的比是                                                                （    ）

A．1∶2∶3           B．1∶7∶19         C．3∶4∶5          D．1∶9∶27

10．空间三条射线PA，PB，PC满足∠APC=∠APB=60°，∠BPC=90°，则二面角B-PA-C 的度数                                                                                                              （    ）

       A．等于90°                            

       B．是小于120°的钝角                          

C．是大于等于120°小于等于135°的钝角 

       D．是大于135°小于等于150°的钝角

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题满分24分，每小题6分，各题只要求直接写出结果．

11．长方体高为ｈ，底面积为Ｑ，垂直于底面的对角面面积为Ｍ，则长方体的全面积为　　．

12．直三棱柱ABC－A₁B₁C₁的体积为V，P、Q分别是侧棱AA₁与CC₁上的点，且AP=C₁Q，则四棱锥B－APQC的体积=                   ．

13．已知正四棱锥S－ABCD的侧面与底面所成的角为60°，过边BC的截面垂直于平面ASD，交平面ASD于EF，则二面角S－BC－E的平面角为             ．

14．矩形ABCD的边长分别为a，b(a<2b)，

E是DC的中点，把矩形沿AE、BE折成

一个三棱锥的三个侧面(C、D重合)，则

最大的侧面与底面所成的二面角的正弦

值是  　　　   ．

三、解答题：本大题满分76分．

15．（12分）在棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两成60°角，PA=a，PB=b，PC=c，求三

      棱锥P—ABC的体积.

16．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ÐABC＝60°，

PC⊥平面ABCD，PC＝1，E为PA的中点．

   （1）求证：平面EDB⊥平面ABCD；

   （2）求二面角A－EB－D的正切值；

   （3）求点E到平面PBC的距离．

17．（12分）正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁=2AB，D、E分别是侧棱BB₁、CC₁上的点，

    且EC=BC=2BD，过A、D、E作一截面，求：

   （1）截面与底面所成的角；

   （2）截面将三棱柱分成两部分的体积之比.

18．（12分）C₇₀ 分子是与C₆₀分子类似的球状多面体结构，它有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面都是五边形或六边形。求C₇₀分子中五边形和六边形的个数．

19．（14分）斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，顶点A₁在底面的射影O

是△ABC的中心，异面直线AB与CC₁所成的角为45°.

   （1）求证：AA₁⊥平面A₁BC；

   （2）求二面角A₁－BC—A的平面角的正弦值；

   （3）求这个斜三棱柱的体积.

20．（14分）如图，四棱锥 的底面 是直角梯形，已知 垂直底面 ，

    且 ， ．

   （1）求证：平面 平面 ；

   （2）若 为侧棱 上的一点，当 为何值时，

平面 ，证明你的结论；

   （3）若 ，求二面角 的大小．